Étudier le signe d'une fonction avec la formule algébrique

Définition : le signe d’une fonction \(f\) dont la représentation graphique est \(C_f\) permet de savoir quand la fonction est positive, négative ou nulle.

Pour une fonction \(f(x)\) définie sur un intervalle \(I\) 

• Le signe est positif si \(f(x)>0\) pour tout \(x\) dans \(I\), ce qui signifie que la courbe \(C_f\) de la fonction `f` se situe au dessus de l'axe des abscisses.
• Le signe est négatif si \(f(x)<0\) pour tout \(x\) dans \(I\) ce qui signifie que la courbe `C_f` de la fonction `f` se situe en dessous de l'axe des abscisses.
•  Le signe de la fonction \(f(x)\) est nul pour les valeurs de \(x\) où \(f(x)=0\), ce qui signifie que la courbe \(C_f\) de la fonction `f` coupe l'axe des abscisses.
  

Exemple : soit la fonction \(f(x) = 2x + 6\), définie sur l’intervalle \([-5 ; 5]\).

On étudie le signe de \(f(x) = 2x + 6\) sur l’intervalle \([-5\ ; 5]\). Cela signifie qu'on va chercher quand la fonction est positive, négative ou nulle, entre \(x = -5\) et \(x = 5\).

Astuce : commencer par chercher la ou les solutions pour \(f(x) = 0\). Ici, \(f(x) = 0\) a pour solution \(x = -3\). Pour étudier le signe de \(f\), choisir une valeur comprise entre  \([ -5 \,; -3]\) puis réaliser la même démarche en prenant une valeur comprise entre \([ -3\, ; 5]\).

• Sur \([ -5 \,; -3]\), je choisis le nombre \(-4\) : \(f (-4) = 2 \times (-4) + 6 = - 8 + 6 = - 2\).
  Sur \([ -5 \,; -3]\), le signe de \(f\) est négatif.
• Sur \([ -3\, ; 5]\), je choisis le nombre \(2\) : \(f (2) = 2 \times (2) + 6 = 4 + 6 = 10\).
  Sur \([ -3\, ; 5]\), le signe de \(f\) est positif.

On remplit le tableau de signes de la fonction dérivée.